Aberrations en optique des particules chargées

Les Aberrations en optique des particules chargées sont l'équivalent des aberrations en optique photonique. L'étude des aberrations des lentilles électroniques est presque aussi vieille que le microscope électronique lui-même.



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Optique des particules chargées - Électronique

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  • L'optique des faisceaux de particules chargées dans un champ magnétique est ... des aberrations liées aux défauts de réalisation des éléments optiques, etc.... (source : phy.ntnu.edu)

Les Aberrations en optique des particules chargées sont l'équivalent des aberrations en optique photonique. L'étude des aberrations des lentilles électroniques est presque aussi vieille que le microscope électronique lui-même [1]. Il n'y a pas de différences entre les aberrations géométriques de l'optique photonique ou de l'optique des particules chargées. L'aberration chromatique est assez proche dans les deux disciplines, mais la longueur d'onde de l'optique photonique est remplacée par la variation relative d'énergie. Du fait que l'existence de la charge électrique, certaines aberrations seront la conséquence de la répulsion coulombienne et seront nommées aberrations de charge d'espace pour certaines d'entre elles et aberrations coulombiennes stochastiques pour d'autres.

Ce qu'on nomme l'optique électronique est une restriction de l'optique des particules chargées au cas des électrons. Chaque fois que la masse n'intervient pas dans la description d'une aberration il est cependant courant de la décrire comme s'il s'agissait d'un électron.

Historique

Les premiers calculs des cœfficients d'aberration ont été effectués dès le début des années 1930[1] par Scherzer[2] qui utilisait la méthode des trajectoires paraxiales et par Glaser qui a introduit la méthode de l'eikonal [3]. Pendant les années 1930, les aberrations des lentilles circulaires sont étudiées intensivement et plusieurs auteurs aboutissent à des formules concernant les différents cœfficients d'aberrations. Surtout Scherzer parvient à démontrer un théorème[4] spécifiquement intéressant pour la résolution des microscopes électroniques : Quel que soit le dessin d'une lentille, électrostatique ou magnétique, son aberration sphérique est toujours positive[1].

Dans les années 1940, des auteurs parmi lesquels on retrouve Scherzer, calculent les aberrations des quadrupoles et proposent un certain nombre de méthodes pour annuler leur aberration sphérique[1].

C'est à la fin des années 1940 que des auteurs commencent à adresser le problème des aberrations du seconds ordre dans des systèmes courbes tels que le secteur magnétique ou le secteur électrostatique [5] : Pour les secteurs magnétiques, Hintenberger en 1948[6], puis Kerwin, Tasman, Bœrboom et finalement Enge en 1967[7]. Pour les secteurs électrostatiques, Ewald et Liebl en 1957[8], Wollnick en 1965[9].

Optique gaussienne, plan de Gauss

Définition canonique des aberrations

Dans un très grand nombre de dispositifs d'optique électronique ou ionique, il est envisageable de privilégier une trajectoire médiane, paramétrée en z, distance le long de la trajectoire et une tension d'accélération nominale E. La trajectoire médiane est le plus souvent l'axe de symétrie mécanique des instruments qu'on appellera axe principal. Certaines parties de cet axe sont droites, mais d'autres parties peuvent être courbes, par exemple, dans les secteurs électrostatiques ou magnétiques utilisés dans les spectromètres de masse. On peut alors considérer n'importe quel dispositif optique comme une fonction de transformation des trajectoires entre un plan d'entrée localisé à zi, où l'indice "i" veut dire «input» et un plan de sortie localisé à zo, où l'indice "o" veut dire «output». Ces indices sont légèrement malheureux, car ils entraînent une confusion avec «image» et «objet», mais c'est ainsi qu'ils sont définis dans la littérature[10].

Dans un plan donné, perpendiculaire à l'axe principal, repéré par des axes OX et OY, n'importe quelle trajectoire électronique ou ionique peut être caractérisée par un vecteur (x, y, a, b, m, e) où

Chaque composante du vecteur de sortie peut alors s'exprimer comme une fonction des composantes du vecteur d'entrée et peut être approximé par une Série de Taylor.

x_O = (x/x) * x_i + (x/y) * y_i + (x/a) * a_i + (x/b) * b_i + (x/m) * m +  (x/e) * e + (x/xx) * x_iˆ2 ... + (x/aa) * a_iˆ2  + (x/ae) * a_i * e  +....   + (x/aaa) * a_iˆ3 ...

y_O = (y/x) * x_i + (y/y) * y_i + (y/a) * a_i + (y/b) * b_i + (y/m) * m +  (y/e) * e + (y/xx) * x_iˆ2 + (y/aa) * a_iˆ2  + (y/ae) * a_i * e  +....   + (y/aaa) * a_iˆ3 ...

a_O = (a/x) * x_i + (a/y) * y_i + (a/a) * a_i + (a/b) * b_i + (a/m) * m +  (a/e) * e + (a/xx) * x_i2 ... + (a/aa) * a_iˆ2  + (a/ae) * a_i * e  +....   + (a/aaa) * a_iˆ3 ...

b_O = (b/x) * x_i + (b/y) * y_i + (b/a) * a_i + (b/b) * b_i + (b/m) * m +  (b/e) * e + (b/xx) * x_iˆ2 ... + (b/aa) * a_iˆ2  + (b/ae) * a_i * e  +....   + (b/aaa) * a_iˆ3 ...

Il doit être clair que (x/æ) ou (a/x) ou y (bbb) désignent des cœfficients. La totalité complet de ces cœfficients est quelquefois nommé la Matrice de Transfert. Il faut comprendre que étant donné que on on connait les cœfficients de chaque constituant du dispositif, il est envisageable de calculer aisément les cœfficients de la totalité du dispositif.

On peut donner à chaque cœfficient une signification physique. Par exemple (x/x) et (y/y) sont des grandissements tandis que (a/x) et (b/y) sont des inverses de distance focale. On peut aussi signaler que (x/m) est un cœfficient de dispersion en masse et (x/e) un cœfficient de dispersion en énergie.

Dans un certain nombre de cas spécifiques, on peut démontrer que certains cœfficients sont obligatoirement nuls pour des raisons de symétrie. A titre d'exemple, une lentille électrostatique pourvue d'une symétrie de révolution aura ses cœfficients du second ordre (a/xx), (a/yy), (a/xy) etc... égaux à zéro.

Les termes du deuxième et du troisième ordre (et évidemment, au-delà) sont reconnus comme des effets parasites, non désirés, dans la majorité des dispositifs optiques. On les nomme des «aberrations». Certains systèmes, par exemple des hexapoles, qui produisent un certain type d'aberrations - dans le cas des hexapoles, ce sont des aberrations du deuxième ordre, sont inclus dans des dispositifs optiques en vue d'annuler des aberrations produits par d'autres systèmes indispensables dans l'instrumentation reconnue? A titre d'exemple, les secteurs magnétiques qui sont utilisés pour leur dispersion en masse, produisent aussi des termes parasites (x/aa), (x/æ)...

Les aberrations dans les dispositifs à symétrie de révolution

Aberrations géométriques du troisième ordre

Dans un dispositif à symétrie de révolution, c'est-à-dire un dispositif constitué de lentilles électrostatiques et de lentilles magnétiques comme le sont les microscopes électroniques, il est naturel de travailler en coordonnées cylindriques en exprimant la position de la particule à l'aide se son rayon vecteur r et de son azimut φ. On travaillera alors avec les variables complexes u et v et w définis par [11]

\textstyle u = x_O +i y_0 = r_O * eˆ{i\phi_O}

\bar u\ = x_O -i y_0 = r_O *eˆ{-i\phi_O}

\textstyle w = x_i +i y_i = r_i * eˆ{i\phi_i}

La symétrie de révolution conduit à éliminer les termes d'ordre pair, à commencer par le second ordre. Elle impose aussi, pour l'ensemble des termes du toisième ordre de type \textstyle uuv, \ vˆ2 \bar v , \ \bar vˆ3, à ne conserver que ceux dont la phase est φ [11] :

w = \left( \bold A + i \bold A'\right)\ vˆ2 \bar v\ + \left( \bold B + i \bold B'\right) uˆ2 \bar v\ + \left( \bold C + i \bold C'\right)\ u \bar u\ v + \left( \bold D + i \bold D'\right) \bar u\ vˆ2 + \left( \bold E + i \bold E'\right) u v\bar v\ + \left( \bold F + i \bold F'\right) uˆ2\bar u\

D'autre part Par des considérations de symétrie, et en vertu du théorème de Malus Dupin qui impose[11] :

Im(\frac{\delta w}{\delta v}) = 0

on arrive à simplifier ainsi qu'à supprimer un certain nombre de termes :

\bold A' = \bold C' = 0

\bold E = 2\bold D

\bold E' = -2\bold D'


Ce qui conduit à une relation valide autant pour les lentilles magnétiques que pour les lentilles électrostatiques[11]

w = \bold A\ vˆ2 \bar v\ + \left( \bold B + i \bold B'\right) uˆ2 \bar v\ + \bold C\ u \bar u\ v + \left( \bold D + i \bold D'\right) \bar u\ vˆ2 + 2\left( \bold D - i \bold D'\right) u v\bar v\ + \left( \bold F + i \bold F'\right) uˆ2\bar u\


Mais dans le cas des lentilles électrostatiques, on peut mettre à profit le fait qu'aucune force ne peut amener un électron à quitter un plan méridien[11].

\bold B' = \bold D' = \bold F' = 0


A est connu comme le cœfficient d'aberration sphérique[12]
D est connu comme le cœfficient de coma[12]
D est connu comme le cœfficient de coma anisotropique[12]
B est connu comme le cœfficient d'astigmatisme[12]
B' est connu comme le cœfficient d'astigmatisme anisotropique[12]
C est connu comme le cœfficient de courbure de champ[12]
F est connu comme le cœfficient de distorsion[12]
F' est connu comme le cœfficient de distorsion anisotropique[12]


Toutes ces #Discussion détaillée des différentes aberrations géométriques sont discutées ci-dessous

Discussion détaillée des différentes aberrations géométriques

Article détaillé : Aberration géométrique.

On peut définir de façon canonique 5 types d'aberrations géométriques : l'aberration sphérique, coma, la courbure de champ, l'astigmatisme et la distorsion.

Aberration sphérique

Réprésentation de l'aberration sphérique.

L'aberration sphérique est une aberration du troisième ordre qui traduit le fait qu'une lentille, qu'elle soit magnétique ou électrostatique, est encore plus convergente pour les trajectoires périphériques que pour les trajectoires centrales. Le cœfficient d'aberration sphérique Cs est défini par la relation :[13]

rs = Csθ3M

rs est la distance à l'axe, dans le plan image de Gauss de la trajectoire associé à l'angle d'ouverture θ et M étant le grandissement du dispositif optique reconnu.


La section du faisceau n'est pas minimale au plan de Gauss, mais à un plan voisin. Dans ce plan, la section du faisceau est nommée disque de moindre confusion ds, min dont on peut montrer qu'il est égal à[13] : Pour un faisceau ayant un angle d'ouverture α0, le faisceau n'est pas focalisé en un point, mais en un disque dans le plan image, nommé disque de moindre confusion de diamètre minimum ds, min :[13]

d_{s,min} = \frac{1}{2} C_s \alpha_0ˆ3

α0, étant l'angle d'ouverture du faisceau.

Scherzer a démontré par un théorème qui porte son nom que l'aberration sphérique était toujours positive dans un dispositif à symétrie de révolution. On a cependant imaginé à la fin des années soixante-dix de contourner le théorème se Scherzer par des dispositifs qui ne sont pas à symétrie de révolution et qui nécessitent de faire passer le faisceau hors d'axe. Ces dispositifs consistent en un certain nombres d'étages de multipoles. Leur réglage nécessitant des algorithmes particulièrement élaborés, ce n'est que depuis le début des années 2000 qu'ils ont pu être intégrés dans des microscopes électroniques commercialisés.

Astigmatisme

L'astigmatisme a pour effet de ne pas faire converger les rayons issus d'un même point suivant leurs directions initiales. En considérant une focale Fm suivant le plan méridien, et l'autre Fs suivant le plan sagittal[14], on observe une différence de focale Δfa = FmFa. De cette différence résulte un cercle de moindre confusion de diamètre da donné par :[15]

da = Δfaα0

Dans le cas d'une lentille, l'origine de cette aberration vient des variations de champs dues aux inhomogénéités de la lentille ou des contaminations éventuelles sur la surfaces des diaphragmes et de l'échantillon. L'astigmatisme est corrigé par une paire de stigmateurs, décalés de 45°.

Aberrations chromatiques

En pratique, le faisceau électronique n'est pas totalement monochromatique, c'est-à-dire que la longueur d'onde (ou l'énergie) fluctue faiblement d'un électron à l'autre. La focalisation des lentilles magnétiques magnétique dépendant fortement de l'énergie des électrons, il en résulte une succession de foyers qui sont compris entre le foyer pour les électrons les plus lents Fl et celui pour les plus rapides Fr. Cette différence Δfc = FlFr et la constante d'aberration chromatique caractérise le cercle de moindre confusion dont le diamètre dc est donnée par :

d_c = \frac{1}{2} \Delta f_c \alpha_0

Cette aberration est dite d'ordre un, car elle est proportionnelle à l'ouverture angulaire α0.

Calcul des aberrations géométriques et chromatiques

Aberrations de charge d'espace

Si le faisceau de particules chargées est particulièrement intense, les phénomènes de répulsion coulombienne internes au faisceau entre charges électriques de même signe ne sont pas négligeables et amènent à des aberrations dites de charge d'espace qui peuvent se corriger, en première approche par une refocalisation de la lentille objectif étant donné que les forces de répulsion ont un aspect continu et ne dépendent que de la position d'un point reconnu.

Les effets sur les trajectoires résultant de répulsion coulombienne stochastique, jadis nommées effet Bœrsch, sont , elles, incorrigeables.

Bibliographie

L'ouvrage de référence pour l'optique électronique depuis 1988, légèrement complexe à lire. L'optique des dispositifs courbes, à la base de l'optique ionique n'y est qu'effleuré.

Le grand classique depuis la fin des années cinquante

La première monographie en français

Systèmes à axe courbé Ciblé vers les gros accélérateurs

Pour les secteurs électrostatiques :

Pour les secteurs magnétiques


Notes et références

  1. P. W. Hawkes, E. Kasper, Principles of Electron Optics, Academic Press, 1988, p. 299-302
  2. O. Scherzer, Z. Physik 80, 193-202 (1933)
  3. W. Glaser, Z. Physik, 81, p. 647-686
  4. O. Scherzer, Z. Physik, 101, 593-603
  5. Pierre Grivet, Electron optics, Tome 1, édition anglaise de 1972, p. 349 et 367-368
  6. Hintenberger, Z. Naturforsch., "a, 125 et 669 (1948)
  7. Harald A. Enge, Deflecting Magnets, dans Focusing of charged particles, ed. by Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 203-264
  8. H. Ewald et H. Liebl, Z. Naturforsch. 12a. 28 (1957)
  9. Hermann Wollnik, Electrostatic Prisms, dans Focusing of charged particles, ed. by Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202
  10. A titre d'exemple, les articles de Wollnick et Enge dans Focusing of charged particles, ed. by Albert Septier, Academic Press, 1967, p. 163-202 et p. 203-264
  11. Grivet, p. 156-158
  12. Grivet, p. 159-162
  13. Reimer 1993, p.  37-38
  14. plan défini perpendiculaire au plan méridien,
  15. Reimer 1993, p.  40

Voir aussi

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