Analyse spectrale

En physique et dans diverses techniques apparaissent des signaux, fonctions du temps ou, plus exceptionnellement, d'une variable d'espace.



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  • L'analyseur de spectre 3D permet l'enregistrement d'environ 45 secondes de signal et la restitution de son analyse spectrale selon le temps.... (source : aragonsoft)
  • La fonction d'autocovariance possède une transformée de Fourier que... Un enregistrement tronquant toujours le signal censé se maintenir... de confiance la valeur statistique de l'analyse effectuée.... (source : perso.numericable)
  • Le troisième est l'analyse spectrale du signal (via filtrage de ... du signal, vous avez là une bonne base pour tester des fonctions.... tdt63, pour avoir un spectre du signal envoyé en waveout c'est particulièrement, particulièrement facile.... (source : vbfrance)

En physique et dans diverses techniques apparaissent des signaux, fonctions du temps ou, plus exceptionnellement, d'une variable d'espace. L'analyse spectrale recouvre plusieurs techniques de description de ces signaux dans le domaine des fréquences. Elle permet surtout d'obtenir les caractéristiques de la réponse d'un système linéaire en utilisant une fonction de transfert. En mathématiques, l'analyse harmonique correspond à une partie de ces techniques.

Présentation

Un phénomène physique dépendant du temps est décrit par un ou plusieurs signaux. On ne peut qu'exceptionnellement les interpréter de façon simple. Le problème est de trouver une description de leur contenu, assez générale et adaptée aux problèmes concrets. Ceux-ci se présentent fréquemment de la manière suivante : un dispositif transforme un signal d'entrée en un signal de sortie, comment déterminer les caractéristiques de ce dernier en fonctions de celles du signal d'entrée et de celles du dispositif ?

Dans le cas général, on ne connaît malheureusement pas la relation entre les valeurs du signal de sortie et celles du signal d'entrée mais uniquement la relation entre les variations du signal de sortie et les valeurs (ou peut-être les variations) du signal d'entrée. En termes mathématiques, le dispositif est régi par une équation différentielle. Si celle-ci est quelconque, le problème est insoluble.

Heureusement, il existe une classe importante de dispositifs, les dispositifs linéaires (ou supposés tels) régis par le principe de superposition. Dans ce cas, correspondant à une équation différentielle linéaire, on peut essayer de décomposer le signal d'entrée en une somme de signaux simples auxquels on saurait faire correspondre des signaux de sortie aussi simples dont la somme donnerait le résultat cherché.

Le problème se simplifie toujours plus si les caractéristiques du dispositif restent constantes au cours du temps. On a affaire à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants. Les signaux simples sont les sinusoïdes qui subissent seulement une augmentcation et un déphasage. C'est le problème de l'analyse spectrale : décomposer un signal compliqué en une somme de sinusoïdes.

Ici apparaît une difficulté car cette décomposition exige que le signal soit défini sur un temps illimité. Or il ne peut être connu qu'à travers un enregistrement de durée limitée : il faut par conséquent construire un modèle du signal en faisant des hypothèses, fréquemment évidentes intuitivement, sur la partie non enregistrée du phénomène.

Différents modèles

On peut supposer, par exemple, que le signal reproduit indéfiniment le contenu de l'enregistrement : on construit alors un modèle périodique basé sur la série de Fourier. Le signal est décrit par un spectre discret (ensemble de fréquences en progression arithmétique).

On peut aussi supposer que le niveau du signal est négligeable en dehors de l'enregistrement : on utilise dans ce cas un modèle transitoire basé sur la transformation de Fourier qui conduit généralement à un spectre continu.

Il existe un certain nombre de phénomènes naturels pour lesquels aucune de ces deux hypothèses n'est réaliste. A titre d'exemple, un enregistrement de vagues, sans montrer de périodicité, ne montre pas non plus de décroissance nette au cours de sa durée assez faible : on parle alors de signal à variance finie (certains préfèrent parler de puissance finie mais ce n'est pas forcément pertinent techniquement), ce qui conduit à la notion de densité spectrale. On peut alors utiliser une hypothèse légèrement plus floue selon laquelle la moyenne quadratique calculée sur l'enregistrement apporte une estimation raisonnable de la moyenne quadratique du signal. Ce type d'analyse conduit toujours à un spectre continu. Il se définit, comme les précédents, à partir du signal mais on peut obtenir des informations supplémentaires en considérant ce dernier comme une réalisation d'un processus aléatoire.

Signaux périodiques

Exemple de signal periodique.png Spectre amplitude signal periodique.png

Le développement en série de Fourier d'un enregistrement de durée T associe à ce dernier des sinusoïdes d'amplitudes finies et de fréquences multiples de la fréquence du essentiel 1/T. On parle d'un spectre d'amplitude qui est un spectre de raies. Dans le cas général, le résultat de l'analyse peut s'exprimer soit en amplitudes et phases, soit en composantes cosinus et sinus.

La sommation des sinusoïdes crée un signal périodique. Si le signal d'origine est périodique, il est idéalement représenté – au moins habituellement. Dans le cas opposé on n'a représenté que l'enregistrement et il faut tenter de trouver autre chose.

Signaux transitoires

Exemple de signal transitoire
Spectre densite amplitude signal transitoire.png

Ici, on raisonnera en premier lieu sur le signal de durée supposée illimitée avant de voir les conséquences pour un enregistrement de durée finie. Si ce signal n'est pas périodique, n'a pas de période finie, on peut essayer de voir ce qui se passerait si on lui prêtait une période illimitée. Cela entraîne les conséquences suivantes :

On obtient ainsi la transformée du signal x (t) qu'on note le plus souvent X (f), f étant la fréquence.

Si on retourne à un enregistrement de durée limitée, il y a deux possibilités :

  1. Le signal n'est différent de zéro que pendant une durée limitée : l'analyse pendant cette durée apporte, au moins habituellement, un résultat exact servant à reconstituer le signal par inversion de la transformation.
  2. Le signal a des valeurs différentes de zéro pendant une durée supérieure à celle de l'enregistrement : l'imprécision du résultat croît avec la quantité d'information perdue. L'erreur ainsi commise se traduit concrètement par une dispersion de l'énergie correspondant à une fréquence sur les fréquences voisines et mathématiquement par la notion de convolution.

Signaux à variance finie

Signal variance finie.png

Le problème est plus compliqué que dans le cas précédent et on peut l'aborder de diverses manières. Celle que nous utiliserons n'est sans doute pas la plus efficace d'un point de vue scientifique mais elle a l'avantage de montrer quelques points essentiels sans les cacher derrière des considérations mathématiques, sinon spécifiquement complexes, du moins assez lourdes. Pour s'affranchir de problèmes spécifiques liés à la prise en compte d'une moyenne non nulle, on supposera que le signal a été préalablement centré par soustraction de sa moyenne.

Fonction d'autocovariance

Signal variance finie autocovariance.png

Etant donné un signal x (t), on nomme fonction d'autocovariance — fréquemment assimilée à tort à l'autocorrélation — la fonction de τ qui donne la moyenne des produits des valeurs de x (t) à deux instants qui changent de τ :

R_x(\tau) = \overline{x(t) x(t+\tau)}

Dans le calcul de cette moyenne, t fluctue de -∞ à +∞. Si le signal est transitoire, la fonction est nulle ; s'il est périodique, elle est elle-même périodique. En se plaçant dans le cas d'un signal qui n'appartient de toute évidence à aucune des deux catégories, la fonction possède les propriétés suivantes :

x(t) = \sum_n a_n \cos (\omega_n t + \varphi_n)

Dans ces conditions on montre que

R_x(\tau) = \sum_n {a_nˆ2 \over 2} \cos {\omega_n \tau }

Ainsi

Densité spectrale

Signal variance finie densite spectrale.png

On peut déduire de ce qui précède :

Relation avec les processus aléatoires

À la déformation du contenu en fréquences déjà constatée pour les signaux transitoires s'ajoute une incertitude statistique liée à la position de l'enregistrement sur le signal.

La fonction d'autocovariance correspond à toute une famille de signaux qui contiennent les mêmes composantes. On peut interpréter cette famille comme celle des réalisations d'un processus continu. Un enregistrement de durée limitée peut aussi être reconnu comme une réalisation d'un autre processus. Cela sert à préciser avec des intervalles de confiance la valeur statistique de l'analyse effectuée.

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Livres

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