Convertisseur Buck-Boost

Un convertisseur Buck-Boost est une alimentation à découpage qui convertit une tension continue en une autre tension continue de plus faible ou plus grande valeur mais de polarité inverse.

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Un convertisseur Buck-Boost est une alimentation à découpage qui convertit une tension continue en une autre tension continue de plus faible ou plus grande valeur mais de polarité inverse. Un inconvénient de ce convertisseur est que son interrupteur ne possède pas de limite reliée au zéro, compliquant ainsi sa commande.

Principe de fonctionnement

Fig. 1 :Schéma de base d'un convertisseur Buck-Boost

Fig. 2 : Les deux configurations d'un convertisseur Buck-Boost suivant l'état de l'interrupteur S

Le fonctionnement d'un convertisseur Buck-Boost peut être divisé en deux configurations suivant l'état de l'interrupteur S (voir figure 2) :

Dans l'état passant, l'interrupteur S (voir figure 1) est fermé, conduisant ainsi à une augmentation de l'énergie stockée dans l'inductance.
Dans l'état bloqué, l'interrupteur S est ouvert. L'inductance est reliée à la charge ainsi qu'à la capacité. Il en résulte un transfert de l'énergie accumulée dans l'inductance vers la capacité et la charge.

Comparé aux convertisseurs Buck et Boost, les principales différences sont :

La tension de sortie est de polarité inverse de celle d'entrée
La tension de sortie peut fluctuer de 0 à $-\infty$ (pour un convertisseur parfait).

Conduction continue

Fig. 3 :Formes d'ondes courant/tension dans un convertisseur Buck-Boost

Lorsque un convertisseur Buck-Boost travaille en mode de conduction continue, le courant I_L traversant l'inductance ne s'annule jamais. La figure 3 montre les formes d'ondes du courant et de la tension dans un convertisseur Boost.

La tension de sortie est calculée de la façon suivante (en considérant les composants comme parfaits) :

Durant l'état passant, l'interrupteur S est fermé, entraînant l'augmentation du courant suivant la relation :

$V_i=L\frac{dI_L}{dt}$

A la fin de l'état passant, le courant I_L a augmenté de :

$\Delta I_{L_{On}}=\int_0ˆ{\alpha\cdot T}dI_L=\int_0ˆ{\alpha\cdot T}\frac{V_i\cdot dt}{L}=\frac{V_i \cdot \alpha\cdot T}{L}$

$α$ étant le rapport cyclique. Il représente la durée de la période T durant laquelle l'interrupteur S conduit. $α$ est compris entre 0 (S ne conduit jamais) et 1 (S conduit tout le temps).

Pendant l'état bloqué, l'interrupteur S est ouvert, le courant traversant l'inductance circule à travers la charge. Si on considère une chute de tension nulle aux limites de la diode et un condensateur suffisamment grand pour garder sa tension constante, l'évolution de I_L est :

$\frac{dI_L}{dt}=\frac{V_o}{L}$

Donc, la variation de I_L durant l'état bloqué est :

$\Delta I_{L_{Off}}=\int_0ˆ{\left(1-\alpha\right) T}dI_L=\int_0ˆ{\left(1-\alpha\right) T}\frac{V_o\cdot dt}{L}=\frac{V_o \left(1-\alpha\right) T}{L}$

Si on considère que le convertisseur est en régime permanent, l'énergie stockée dans chaque composant est la même au début ainsi qu'à la fin de chaque cycle de commutation. Surtout, l'énergie stockée dans l'inductance est donnée par :

$E=\frac{1}{2}L\times I_Lˆ2$

En conséquence, le courant I_L traversant l'inductance est le même au début ainsi qu'à la fin de chaque cycle de commutation. Ce qui peut s'écrire de la façon suivante :

$\Delta I_{L_{on}}+\Delta I_{L_{off}}=0$

En remplaçant $\Delta I_{L_{on}}$ et $\Delta I_{L_{off}}$ par leur expression, on obtient :

$\Delta I_{L_{On}} + \Delta I_{L_{Off}}=\frac{V_i \cdot \alpha\cdot T}{L}+\frac{V_o\left(1-\alpha\right)T}{L}=0$

Ce qui peut se réécrire de la façon suivante :

$\frac{V_o}{V_i}=-\frac{\alpha}{1-\alpha}$

Grâce à cette dernière expression, on peut voir que la tension de sortie est toujours négative (le rapport cyclique $α$ variant entre 0 et 1), que sa valeur absolue augmente avec $α$ , théoriquement jusqu'à l'infini quand $α$ approche 1. Si on omet la polarité, ce convertisseur est à la fois dévolteur (comme le convertisseur Buck) et survolteur (comme le convertisseur Boost). C'est pour cela qu'on le qualifie de Buck-Boost.

Conduction discontinue

Fig 4 Formes d'ondes courant/tension dans un convertisseur Buck-Boost en conduction discontinue.

Occasionnellemen, la quantité d'énergie demandée par la charge est assez faible pour être transférée dans un temps plus court qu'une période de commutation. Dans ce cas, le courant traversant l'inducteur s'annule pendant une partie de la période. L'unique différence avec le principe de fonctionnement décrit auparavant, est que l'inductance est totalement déchargée en début de cycle (voir les formes d'ondes sur la figure 4). Quoique faible, la différence entre conduction continue et discontinue a un fort impact sur la formule de la tension de sortie. La tension de sortie peut être calculée de la façon suivante :

Comme le courant de l'inductance est nul en début de cycle, son maximum $I_{L_{Max}}$ (a $t = α. T$ ) vaut :

$I_{L_{Max}}=\frac{V_i\cdot \alpha\cdot T}{L}$

Pendant l'état bloqué, I_L s'annule après δ. T :

$I_{L_{Max}}+\frac{V_o\cdot \delta\cdot T}{L}=0$

En utilisant les deux dernières équations, δ vaut :

$\delta=-\frac{V_i\cdot \alpha}{V_o}$

Le courant dans la charge I_o est égal au courant moyen traversant la diode (I_D). Comme on peut le voir sur la figure 4, le courant traversant la diode est égal à celui dans l'inductance pendant l'état bloqué.

Donc, le courant traversant la diode peut être écrit de la façon suivante :

$I_o=\bar{I_D}=\frac{I_{L_{max}}}{2}\delta$

En remplaçant I_Lmax et δ par leurs expressions respectives, on obtient :

$I_o=-\frac{V_i\cdot \alpha\cdot T}{2L}\frac{V_i\cdot \alpha}{V_o}=-\frac{V_iˆ2\cdot \alphaˆ2\cdot T}{2L\cdot V_o}$

Donc, le gain de tension en sortie peut être écrit de la façon suivante :

$\frac{V_o}{V_i}=-\frac{V_i\cdot \alphaˆ2 \cdot T}{2L\cdot I_o}$

Cette expression est énormément plus complexe que celle obtenue lors de l'étude en conduction continue. En conduction discontinue, le gain en tension dépend du rapport cyclique mais également de la tension d'entrée, de la valeur de l'inductance et du courant de sortie.

Limite entre la conduction continue et discontinue

Fig. 5 :Évolution de la tension de sortie normalisée d'un convertisseur Buck-Boost avec un courant de sortie normalisé.

Comme expliqué dans le paragraphe précédent, le convertisseur fonctionne en conduction discontinue lorsque le courant demandé par la charge est faible, et il fonctionne en conduction continue pour les courants plus importants. La limite entre conduction continue et conduction discontinue est atteinte lorsque le courant dans l'inductance s'annule juste au moment de la commutation. Avec les notations de la figure 4, cela correspond à :

$\alpha\cdot T + \delta \cdot T=T$

$α + δ = 1$

Dans ce cas, le courant de sortie I_olim (courant de sortie à la limite de la conduction continue et discontinue) est donné par la relation :

$I_{o_{lim}}=\bar{I_D}=\frac{I_{L_{max}}}{2}\left(1-\alpha\right)$

En remplaçant I_Lmax par son expression en conduction discontinue :

$I_{o_{lim}}=\frac{V_i\cdot \alpha\cdot T}{2L}\left(1-\alpha\right)$

A la limite entre les deux modes de conduction, la tension de sortie obéit aux expressions des deux modes. On utilisera celle donnée pour le mode de conduction continue :

$\frac{V_o}{V_i}=-\frac{\alpha}{1-\alpha}$

On peut par conséquent réécrire I_olim de la façon suivante :

$I_{o_{lim}}=\frac{V_i\cdot \alpha\cdot T}{2L}\frac{V_i}{V_o}\left(-\alpha\right)$

Introduisons deux nouvelles notations :

La tension normalisée, définie par $\left|V_o\right|=\frac{V_o}{V_i}$ , qui correspond au gain en tension du convertisseur.
Le courant normalisé, défini par $\left|I_o\right|=\frac{L}{T\cdot V_i}I_o$ . Le terme $\frac{T\cdot V_i}{L}$ correspond à l'augmentation maximale de courant qu'on peut atteindre lors d'un cycle (variation du courant dans l'inductance atteinte pour $α = 1$ ). On obtient par conséquent, en régime permanent, $\left|I_o\right|$ égale 0 lorsque le courant de sortie est nul, et 1 pour le courant maximum que peut apporter le convertisseur.

En utilisant ces notations, on obtient :

En conduction continue, $\left|V_o\right|=-\frac{\alpha}{1-\alpha}$ ;
En conduction discontinue, $\left|V_o\right|=-\frac{\alphaˆ2}{2\left|I_o\right|}$ ;
Le courant limite entre la conduction continue et discontinue est $I_{o_{lim}}=\frac{V_i\cdot T}{2L}\alpha\left(1-\alpha\right)=\frac{I_{o_{lim}}}{2\left|I_o\right|}\alpha\left(1-\alpha\right)$ .

Donc, la frontière entre conduction continue et discontinue est décrite par : $\frac{1}{2\left|I_o\right|}\alpha\left(1-\alpha\right)=1$ .

Cette courbe a été tracée sur la figure 5. La différence de comportement entre conduction continue et discontinue est particulièrement nette. Cela peut génèrer des problèmes d'asservissement de la tension de sortie.

Cas du circuit non-idéal

Fig. 6 : Évolution de la tension de sortie d'un convertisseur Buck-Boost selon le rapport cyclique lorsque la résistance parasite de l'inductance augmente.

L'étude précédente a été faite avec les hypothèses suivantes :

Le condensateur de sortie a une capacité suffisante pour apporter une tension constante, au cours d'un cycle de fonctionnement, à la charge (une simple résistance)
La chute de tension aux limites de la diode est nulle
Pas de pertes par commutation dans les semi-conducteurs
Pas de pertes dans les composants en général

Ces hypothèses peuvent être particulièrement éloignées de la réalité, les imperfections des composants réels pouvant avoir des effets importants sur le fonctionnement du convertisseur.

Prise en compte des résistances parasites

Dans l'étude précédente, la résistance interne des composants n'a pas été prise en compte. Cela veut dire que toute la puissance est transmise sans perte de la source de tension vers la charge. Il existe cependant des résistances parasites dans tout le circuit à cause de la résistivité des matériaux utilisés pour sa construction. Donc, une fraction de la puissance transmise par la source de tension est dissipée dans ces résistances parasites.

Pour des raisons de simplicité, on ne considèrera ici que les défauts de l'inductance en la modélisant par une inductance en série avec une résistance. Cette hypothèse est acceptable car une inductance est constituée d'un long fil qui peut par conséquent présenter une résistance propre R_L. Qui plus est , le courant traverse la bobine dans les deux états du convertisseur (interrupteur passant et bloqué).

En utilisant la méthode de l'étude en valeur moyenne, on peut écrire :

$V_i=\bar V_L + \bar V_S$

Avec $\bar V_L$ et $\bar V_S$ les tensions moyennes, sur un cycle de fonctionnement, aux limites respectivement de l'inductance et de l'interrupteur. Si on considère que le convertisseur est en régime permanent, le courant moyen à travers l'inductance est constant. La tension moyenne aux limites de l'inductance devient donc :

$\bar V_L=L\frac{\bar{dI_L}}{dt}+R_L\bar I_L=R_L\bar I_L$

Lorsque l'interrupteur est passant, V_S=0. Lorsqu'il est bloqué, la diode devient passante par conséquent V_S=V_i-V_o. Donc, la tension moyenne à travers l'interrupteur est :

$\bar V_S=\alpha\cdot 0 + (1-\alpha)(V_i-V_o)=(1-\alpha)(V_i-V_o)$

Le courant de sortie est opposé à celui dans l'inductance durant l'état bloqué. Le courant moyen dans l'inductance s'écrit donc :

$\bar I_L=\frac{-I_o}{1-\alpha}$

Si on considère les ondulations de tension et de courant en sortie comme négligeables, la charge peut être reconnue comme purement résistive. Si on note R la résistance de la charge, l'expression précédente devient :

$\bar I_L=\frac{-V_o}{(1-\alpha)R}$

En utilisant les équations précédentes, la tension d'entrée s'écrit :

$V_i= R_L\frac{-V_o}{(1-\alpha)R}+ (1-\alpha)(V_i-V_o)$

Cette expression peut se mettre sous la forme :

$\frac{V_o}{V_i}=\frac{-\alpha}{\frac{R_L}{R(1-\alpha)}+1-\alpha}$

Si la résistance de l'inductance est nulle, on retrouve l'équation obtenue dans le cas idéal. Mais plus R_L augmente, plus le gain en tension du convertisseur diminue comparé au cas parfait. De plus l'influence de R_L augmente avec le rapport cyclique (Voir figure 6).

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