Courbe de Lissajous
La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
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- Une courbe de Lissajous. > plot ([sin (2*t), sin (3*t), t=0.. Pi/2]) ;. [Maple Plot]... Rebroussement de 1 ere espèce (p pair, q impair). > x :=t->tˆ2; y :=t->tˆ3;... (source : math.u-psud)
- reconnaître une courbe de Lissajous selon ses équations, ou vice versa.... 6 courbes cœff pair/ impair, 3 courbes cœff impairs, 6 courbes cœff impairs... (source : wims.unicaen)

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.
Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.
Définition mathématique


Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
![]() ![]() |
où ![]() ![]() |
est nommé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme
et l'équation paramétrique de la courbe devient :
![]() ![]() ![]() |
où ![]() |
Propriétés
- Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a, a]x[-b, b].
- Si n est rationnel,
- la courbe est une courbe algébrique de degré 2q si
pour p impair ou
pour p pair.
- la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si
pour p impair ou
pour p pair.
- la courbe est une courbe algébrique de degré 2q si
- Si n est un entier pair et
, ou si n est un entier impair et
, la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev Tn.
Cas spécifiques
- si a=b et n=1, la courbe est une ellipse.
- si
, cette ellipse est un cercle
- si
, cette ellipse est un segment de droite
- si
- si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace
- si
, cette besace est une portion de parabole
- si
, cette besace est une lemniscate de Gerono
- si
Voici quelques exemples de tracés avec φ = 0, p impair, q pair, |p − q| = 1.
![]() p = 1, q = 2 (1 :2) |
![]() p = 3, q = 2 (3 :2) |
![]() p = 3, q = 4 (3 :4) |
![]() p = 5, q = 4 (5 :4) |
![]() p = 5, q = 6 (5 :6) |
![]() p = 9, q = 8 (9 :8) |
Applications
Sur un oscilloscope analogique, le mode XY permet surtout de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.
Voir aussi
- Courbe
Liens externes
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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