Densité spectrale de puissance

On définit la densité spectrale de puissance comme étant le carré du module de la transformée de Fourier, divisée par le temps d'intégration T.



Catégories :

Analyse harmonique - Analyse du signal - Conception électronique - Électronique

On définit la densité spectrale de puissance (DSP en abrégé, Power Spectral Density ou PSD en anglais) comme étant le carré du module de la transformée de Fourier, divisée par le temps d'intégration T (ou, plus rigoureusement, la limite lorsque T tend vers l'infini de l'espérance mathématique de la transformée de Fourier du signal). Ainsi, si x est un signal et X sa transformée de Fourier, la densité spectrale de puissance vaut Γx = | X | 2 / T.

Pour de plus amples détails sur la densité spectrale de puissance et la densité spectrale d'énergie (ou on ne divise pas par le temps d'intégration et qui n'existe que pour les signaux de carré sommable), voir l'article densité spectrale.

Densité spectrale de puissance et autocorrélation

La définition de la fonction d'autocorrélation temporelle d'un signal x à temps continu est :

\gamma(\tau)=\lim_{T \to \infty}  1/2T \int_{-T}ˆ{+T}xˆ{*}(t)x(t+\tau) \, dt

* est la conjugaison complexe.

Prise au point τ, cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures qu'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de l'ordre de τ.

Les propriétés de la transformée de Fourier impliquent que la densité spectrale est la transformée de Fourier de l'autocorrélation. C'est le Théorème de Wiener–Khintchine :

\mathcal{F}[\gamma]=\mathcal{F}[x] \times \mathcal{F}[xˆ*(-)]=X \cdot Xˆ*=\Gamma


Calcul détaillé

Calculons sa transformée de Fourier Γ (ω)  :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}ˆ{+\infty}\int_{-\infty}ˆ{+\infty}xˆ*(t)x(t+\tau)eˆ{-\jmath\omega\tau}\, dt \, d\tau, '\jmath'désignant le nombre complexe de carré égal à -1.

Cette expression peut se mettre sous la forme :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}ˆ{+\infty}\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty}x(t+\tau)eˆ{-\jmath\omega(t+\tau)}d\tau\right)xˆ*(t)eˆ{+\jmath\omega t} \, dt

On effectue dans l'intégrale centrale le changement de variable u=t+τ et il vient :

\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}ˆ{+\infty}\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty}x(u)eˆ{-\jmath\omega u}du\right)xˆ*(t)eˆ{+\jmath\omega t} \, dt

Soit toujours :

\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}ˆ{+\infty}xˆ*(t)eˆ{+\jmath\omega t} \, dt

On effectue le changement de variable u=-t et on obtient :

\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}ˆ{+\infty}xˆ{*}(-u)eˆ{-\jmath\omega u} \, du

On reconnaît, dans le deuxième terme, la transformée de Fourier de x* (-t) . Or la transformée de Fourier de x* vaut X* (-ν) , et la transformée de Fourier de x (-t) vaut X (-ν) . Le deuxième terme vaut par conséquent X* (jω) , par conséquent Γ (jω) =X (jω) X* (jω) =|X (jω) |2 : la densité spectrale de puissance est aussi la transformée de Fourier de l'autocorrélation.

Voir Analyse spectrale pour des considérations élémentaires.

Utilisation de la densité spectrale de puissance dans les télécommunications

En télécommunications, on doit fréquemment traiter des signaux aléatoires. Cependant, on ne peut calculer la transformée de Fourier d'un signal non entièrement connu. Par contre, on peut calculer l'autocorrélation d'un signal aléatoire connu par ses propriétés statistiques. La densité spectrale de puissance est par conséquent, fréquemment, utilisée en télécommunications.

Considérons, par exemple, le «bruit blanc». Le bruit est un exemple type de signal aléatoire. La valeur du bruit, à un instant donné, n'est totalement pas corrélée avec la valeur du bruit aux autres instants. Cela se traduit par une fonction d'autocorrélation du bruit égale à une impulsion de Dirac (c'est-à-dire égale à l'infini en 0, et 0 ailleurs). La transformée de Fourier d'une impulsion de Dirac est la constante unité (le module vaut 1 quelle que soit la fréquence). On définit alors, par «bruit blanc», un bruit dont la densité spectrale est constante suivant la fréquence. En télécommunications, on considère fréquemment les bruits comme étant blancs, tout du moins dans les bandes passantes des dispositifs étudiés.

Recherche sur Google Images :



"Densités spectrales de"

L'image ci-contre est extraite du site ppmd.espci.fr

Il est possible que cette image soit réduite par rapport à l'originale. Elle est peut-être protégée par des droits d'auteur.

Voir l'image en taille réelle (450 x 473 - 74 ko - jpg)

Refaire la recherche sur Google Images

Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_spectrale_de_puissance.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu