Transformée de Clarke

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique pour modéliser un dispositif triphasé grâce à un modéle diphasé

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Électronique de puissance - Électronique

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique pour modéliser un dispositif triphasé grâce à un modéle diphasé

Un dispositif triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de $\frac{2\pi}{3}$ sert à créer un champ tournant à la vitesse $ω$ . Un dispositif diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une comparé à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de $π / 2$ sert à créer un champ tournant à la vitesse $ω$ .

Matrice de transformation

L'objectif est de trouver les valeurs de $x α$ et $x β$ à partir de $x a$ , $x b$ et $x c$ . On peut modéliser le champ tournant créé par dispositif triphasé par un dispositif diphasé grâce aux transformations suivantes :

$\begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix}$

Pour résoudre ce dispositif, l'axe $0 a$ et $0 α$ sont choisis parallèle à l'axe des réels. L'axe $0 β$ est le plus souvent choisi indirect comparé à l'axe $0 α$ . Ce n'est qu'une convention qui inverse les signes de la seconde colonne.

Ainsi, $\begin{bmatrix} 0_a\\ 0_b\\ 0_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\ eˆ{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 0_{\alpha}\\ 0_{\beta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}$

Trouver les matrices $C 32$ et $C 23$ revient à résoudre le dispositif matriciel suivant : $\begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} 1\\ eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\ eˆ{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 1\\ eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\ eˆ{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}$

Ce qui donne : $C_{23} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad et \quad C_{32} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$ .

Avec $\forall x\quad x_a+x_b+x_c=0$

Il existe aussi une transformation de Concordia qui est la même que celle de Clarke mais qui est normée.

Électrotechnique

Une composante homopolaire $x 0$ est rajoutée pour prendre en compte un dispositif déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques $x_0 =\frac{1}{3}(x_a+x_b+x_c)$ .

$\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \\ x_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \\ x_0 \end{bmatrix}$

Voir aussi

Liens externes

Transformation des dispositifs triphasés Fortescue, Clarke, Park et Ku

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"La transformation inverse dq"
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