Transformée de Clarke

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique pour modéliser un dispositif triphasé grâce à un modéle diphasé



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Électronique de puissance - Électronique

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique pour modéliser un dispositif triphasé grâce à un modéle diphasé

Un dispositif triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de \frac{2\pi}{3} sert à créer un champ tournant à la vitesse ω. Un dispositif diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une comparé à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de π / 2 sert à créer un champ tournant à la vitesse ω.

Matrice de transformation

L'objectif est de trouver les valeurs de xα et xβ à partir de xa, xb et xc. On peut modéliser le champ tournant créé par dispositif triphasé par un dispositif diphasé grâce aux transformations suivantes :




\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta
\end{bmatrix}
=
C_{23}

\begin{bmatrix}
x_a\\ 
x_b\\
x_c
\end{bmatrix}

\quad et \quad

\begin{bmatrix}
x_a\\ 
x_b\\
x_c
\end{bmatrix}
=
C_{32}
\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta
\end{bmatrix}

Pour résoudre ce dispositif, l'axe 0a et 0α sont choisis parallèle à l'axe des réels. L'axe 0β est le plus souvent choisi indirect comparé à l'axe 0α. Ce n'est qu'une convention qui inverse les signes de la seconde colonne.

Ainsi, 
\begin{bmatrix}
0_a\\
0_b\\
0_c
\end{bmatrix} 
 =
\begin{bmatrix}
1\\
eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\
eˆ{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 
\quad et \quad
\begin{bmatrix}
0_{\alpha}\\
0_{\beta}
\end{bmatrix} 
 =
\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix}

Trouver les matrices C32 et C23 revient à résoudre le dispositif matriciel suivant : 

\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix} 
=
C_{23}

\begin{bmatrix}
1\\
eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\
eˆ{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 

\quad et \quad

\begin{bmatrix}
1\\
eˆ{j\frac{2\pi}{3}}\\
eˆ{-j\frac{2\pi}{3}}
\end{bmatrix} 
=
C_{32}
\begin{bmatrix}
1\\
-j
\end{bmatrix}

Ce qui donne : 

C_{23}
=\frac{2}{3}
\begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{2}  & -\frac{1}{2}  \\
0 &  -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix} 



\quad et \quad

 C_{32}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{2} &  -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{1}{2}  & \frac{\sqrt{3}}{2} 
\end{bmatrix} 

.

Avec \forall x\quad x_a+x_b+x_c=0

Il existe aussi une transformation de Concordia qui est la même que celle de Clarke mais qui est normée.

Électrotechnique

Une composante homopolaire x0 est rajoutée pour prendre en compte un dispositif déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques x_0 =\frac{1}{3}(x_a+x_b+x_c).


\begin{bmatrix}
x_a \\
x_b \\
x_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} &  -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
-\frac{1}{2}  & \frac{\sqrt{3}}{2} &  1
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
x_\alpha\\
x_\beta \\
x_0
\end{bmatrix}

Voir aussi

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