Valeur efficace

La valeur efficace d'un signal périodique ou d'un signal aléatoire ergodique, est la racine carré du moment d'ordre deux du signal ...

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Électronique - Électrotechnique

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La valeur efficace est donnée par : Cette valeur efficace correspond au niveau... La représentation vectorielle des relations courant -tension en régime... (source : bedwani)

La valeur efficace (dite aussi valeur RMS, de l'anglais Root Mean Square, ou moyenne quadratique) d'un signal périodique ou d'un signal aléatoire ergodique, est la racine carré du moment d'ordre deux du signal :

$x_\mathrm{efficace} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}ˆ{T} {x}ˆ2(t)\, dt}}$

En électricité, la valeur efficace d'un courant ou d'une tension, variables au cours du temps, correspond à la valeur du courant continu ou de la tension continue produisant un échauffement semblable dans une résistance. Cette valeur efficace ne peut être calculée que si ce courant ou cette tension sont des grandeurs périodiques.

Définitions

Valeur efficace d'un courant

Elle est notée $I$ .

Physiquement, c'est l'intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance que $i (t)$ à travers une résistance, soit telle que $R\cdot Iˆ2 = \overline{R\cdot iˆ2}$ .
Mathématiquement, c'est la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité calculée sur une période $T$ : c'est la norme L2 définie sur l'espace de fonctions périodiques, ayant la période en question. D'où l'expression anglaise :R. M. S qui veut dire "Root Mean Square" soit racine de la moyenne du carré

La valeur efficace de l'intensité $i (t)$ d'un courant variable de période $T$ se calcule par :

$\sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}ˆ{t+T} iˆ2(t) \,\mathrm dt}$

Valeur efficace d'une tension

Elle est notée $V$ .

Physiquement, c'est la valeur de la tension continue qui provoquerait une même dissipation de puissance que $u (t)$ si elle était appliquée aux limites d'une résistance.
Mathématiquement, elle se calcule par :

$\sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}ˆ{t+T} uˆ2(t) \,\mathrm dt}$

Cas spécifique des régimes sinusoïdaux

Pour les régimes sinusoïdaux de tension et de courant ( $u (t) = V max sin (t)$ ), on peut montrer que la valeur efficace est égale à la valeur de crête (valeur maximale, $V max$ ) divisée par la racine carrée de deux :

$V_{\rm eff} = \frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$

L'explication mathématique réside dans le calcul de l'intégrale suivante :

$V_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}ˆ{t+T} uˆ2(t) \,\mathrm dt}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}ˆ{2 \pi} uˆ2(\theta) \,\mathrm d\theta}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot Vˆ2_{\rm max} \cdot \int_{0}ˆ{2 \pi} \sinˆ2 \theta \,\mathrm d\theta}$ .

Sachant que $\textstyle\int_0ˆ{2 \pi} \sinˆ2 \theta \,\mathrm d \theta = \pi$ , il vient $V_{\rm eff} = \sqrt{\tfrac{Vˆ2_{\rm max}}{2}} = \tfrac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$ .

Remarques

La valeur efficace est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de la valeur moyenne : $U \geq |Ū|$ et $I \geq |Ī|$
Une grandeur $g (t)$ et la valeur absolue de cette grandeur $| g (t) |$ ont la même valeur efficace.
Certaines personnes emploient le terme valeur RMS de l'anglais Root Mean Square : racine de la moyenne des carrés

Mesures des valeurs efficaces

Les appareils qui mesurent l'intensité des courants électriques s'appellent ampèremètres et ceux qui mesurent les tensions s'appellent voltmètres. La mesure des valeurs efficaces a toujours été plus complexe par conséquent plus coûteuse que la mesure des valeurs moyennes.

On peut décomposer les appareils capables de mesurer les valeurs efficaces en trois familles :

Les appareils analogiques utilisant l'électromagnétisme

En général, la bande passante de ce type d'appareil est toujours limitée à quelques centaines d'hertz.

Les appareils ferromagnétiques

Ou à fer mobile.

Un champ magnétique est créé par un courant image de la grandeur (courant ou tension) à mesurer. Sous l'influence de ce champ magnétique, deux palettes en fer doux se repoussent avec une force dont l'intensité dépend de la valeur moyenne du carré du champ par conséquent de la valeur efficace de la grandeur à mesurer.

Les appareils électrodynamiques

C'est le principe qui était utilisé pour construire les wattmètres analogiques.

Une bobine fixe traversée par un courant $i 1$ crée le champ magnétique. Une autre bobine mobile est traversée par un courant $i 2$ . Dans le cas des wattmètres, l'un des courants est l'image de la tension aux limites du dipôle, l'autre est l'image de la tension à ses limites.

Mais si ces courants sont proportionnels à la même grandeur (tension ou courant), la déviation obtenue dépend de la valeur efficace de cette grandeur.

Fréquemment les appareils de ce type pouvaient être utilisés en wattmètre, en voltmètre ou en ampèremètre.

Les appareils électrostatiques

Ces appareils étaient toujours conçus pour la mesure en haute tension. Ils utilisaient les forces de répulsions s'exerçant entre des pièces mobiles soumises à des différence de potentiels de même signe.

Les appareils analogiques utilisant les phénomènes électrothermiques

Les appareils électrothermiques sont constitués d'un fil dont on mesure l'alongement par échauffement. Ce fil est une résistance pure et l'alongement est par conséquent lié directement à la valeur efficace du courant qui le parcoure, le fil s'échauffe de la même façon que s'il était parcouru par un courant continu égal à cette valeur. Qui plus est , comme c'est une résistance pure, il n'est pas influencé par la fréquence du courant alternatif. Leur principal "défaut" est qu'ils sont lents. Les phénomènes thermiques demandent du temps!

Quelquefois c'est particulièrement utile, ainsi la majorité des jauges à essence ou les indicateurs de température du liquide de refroidissement en automobile ou en moto utilisent cette technique. L'appareil indique une valeur qui ne change pas rapidement, cela évite que l'aiguille du réservoir indique un niveau changeant au gré des virages, des accélérations, des freinages, des montées et descentes...

Les appareils numériques

On appelle voltmètre ou ampèremètre RMS ou TRMS des appareils numériques qui mesurent effectivement la valeur efficace et non pas la valeur moyenne de la valeur absolue multipliée par un cœfficient comme le font les voltmètres numériques bas de gamme.

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